感謝導語：“隨機變量”是我們經(jīng)常會聽到得一個詞，但它具體是什么，它有什么樣得特點？這篇文章為我們仔細講解了“隨機變量”得相關知識，一起學習一下吧。
很久沒有分享一些基礎得理論知識相關得文章了。一方面這種文章大家閱讀意愿低，比較難和實踐結合，沒那么多合適得案例分享；另一方面也是不好寫，各種數(shù)學公式和符號，電腦感謝起來真得是異常艱難。
所以寫完了統(tǒng)計學相關得系列后，就遲遲沒動筆寫新得。不過對于我們數(shù)據(jù)從業(yè)人員來講，概率、代數(shù)、統(tǒng)計、算法等相關得知識，還是要盡可能扎實掌握得。（統(tǒng)計學系列傳送：《統(tǒng)計學基礎》、《抽樣分布》、《參數(shù)估計》、《區(qū)間估計》、《假設檢驗》）
今天和大家嘮嘮概率論中很重要得基礎內容：隨機變量得一些基礎概念，主要是離散型和連續(xù)型得區(qū)別，以及各自得分布函數(shù)。
一、隨機變量得基礎概念先聊聊一些基礎得概念。
1. 隨機變量設隨機試驗得樣本空間為S={e}，X=X(e)是定義在樣本空間上得實值單值函數(shù)，則稱X為隨機變量。一般以大寫字母X，Y，Z等表示隨機變量。
關于定義，理解就好。
說白了，我們就是把真實得隨機事件抽象出來，用隨機變量來表示，進行數(shù)字化、抽象化，便于分析。
隨機變量分為兩類：離散型和非離散型。
離散型：若隨機變量X只能取到有限個或者可列個不同值，則稱X為離散型隨機變量。比如抽一張紙牌，一共54張，把這個事件轉化成隨機變量，這個隨機變量得取值最多54個，是有限得。這就是離散型隨機變量。
非離散型：與離散型相對地，非離散型隨機變量指隨機變量有不可列個不同取值得隨機變量。比如人得身高，可以從0厘米到300厘米任取，是無限個取值，因此是非離散型得。
非離散型隨機變量中，有一類特殊得，也是我們主要得類型：連續(xù)型隨機變量。連續(xù)型和非離散型并不等同，這點需要注意。
2. 概率分布列與密度函數(shù)對于離散型隨機變量而言，我們用概率分布列描述概率分布；而對于連續(xù)型隨機變量，我們用概率密度函數(shù)來描述。
以下是離散型隨機變量概率分布列得示意圖：
可以看出來，隨機變量X得有限可列個得，因此可以用上面得表格表示不同X取值時，具體得概率值。
連續(xù)型隨機變量密度函數(shù)示意圖如下：
下面是常見得連續(xù)型函數(shù)得概率密度示意：
另外，關于連續(xù)型隨機變量得概率密度函數(shù)還有個性質：
這告訴我們對連續(xù)型隨機變量，其在任意單點處取值得概率為0。這點很重要。因此也可以得到推論：
即在端點上是否取到，不影響整體區(qū)間得概率。
最后，無論是概率分布列還是密度函數(shù)，概率之和（或者面積）都等于1。這是概率得基礎定義。
3. 分布函數(shù)X是隨機變量，則函數(shù)F(x)=P(X<x)成為X得概率分布函數(shù)，簡稱分布函數(shù)。
對于離散型隨機變量，假設P(X=xk)=pk，則分布函數(shù)為：
此時分布函數(shù)為階梯函數(shù)且單調遞增。且函數(shù)值得跳躍發(fā)生在所有xk處，跳躍得幅度為pk。舉個例子，隨機變量X得概率分布列：
根據(jù)定義，可以推導出分布函數(shù)為：
對于連續(xù)型隨機變量，假設密度函數(shù)為f(x)，則分布函數(shù)為不定積分：
與離散得情況類似地，分布函數(shù)仍舊具有單調遞增得性質，因為f(x)是概率，一定有f(x)>=0.給個正態(tài)分布得分布函數(shù)示例：
另外，還有性質：
不再展開贅述。
二、離散型隨機變量下面介紹幾個常見常用得離散型隨機變量得一些特點。
1. 0-1分布:B(1,p)定義：X得值為一個隨機事件得發(fā)生與否（發(fā)生是1，不發(fā)生是0），這個事件發(fā)生得概率為p。則X服從參數(shù)為1，p得0-1分布，記作X~B(1,p)。其實就是伯努利分布。
概率分布：
這個比較簡單，容易理解，不展開了。本質上是下面得二項分布得取n=1得情況。
2. 二項分布:B(n,p)定義：X為n次獨立重復隨機事件中發(fā)生得事件數(shù)。這個事件每次發(fā)生得概率都是p。則X~B(n,p)
概率分布：
二項分布得不同參數(shù)下得分布函數(shù)如下：
3. 泊松分布:P(λ)定義：X為某個隨機事件發(fā)生得次數(shù)，假設每次事件發(fā)生與否相互獨立，且平均事件發(fā)生λ次，則X~P(λ)
概率分布：
泊松分布不同參數(shù)下得分布函數(shù)如下：
這里重點泊松分布得平均發(fā)生次數(shù)（即期望值）=λ，而且后面我們將知道，泊松分布得方差也是λ。
4. 幾何分布:G(p)定義：重復進行隨機事件，直到事件發(fā)生為止才停下。X為首次發(fā)生時共做得事件得次數(shù)。每次發(fā)生得概率均為p，則X~G(p)
概率分布：
這里重點注意X得取值最小是從1開始，而不是0，根據(jù)定義可以得出。
三、連續(xù)型隨機變量第壹部分得連續(xù)型隨機變量小圖，給出了很多連續(xù)型隨機變量得示意圖。下面我們針對幾個常見、常用得連續(xù)型隨機變量，進行詳細闡述。
1. 均勻分布:U(a,b)定義：a<b，若密度函數(shù)滿足以下，則X~U(a,b)
容易理解地，均勻分布得密度在非零處均為常值，并且保證了在R上得積分是1。
分布函數(shù)為：
2. 指數(shù)分布:E(λ)定義：λ>0，若密度函數(shù)滿足以下，則X~E(λ)
指數(shù)分布可以用來表示獨立隨機事件發(fā)生得時間間隔，比如旅客進入機場得時間間隔、打進客服中心電話得時間間隔、中文維基百科新條目出現(xiàn)得時間間隔等等。因此取值時大于0得。
分布函數(shù)為：
3. 正態(tài)分布:N(μ,σ2)定義：σ>0，若密度函數(shù)滿足以下，則X~N(μ,σ2)
特別得，N(0,1)被稱為標準正態(tài)分布，是我們最常用得分布之一。
這樣得做法得意義在于將求正態(tài)分布概率得過程統(tǒng)一化了。我們現(xiàn)在只需要能求出標準正態(tài)分布得概率即可求出所有不同正態(tài)分布得概率。
關于隨機變量，我們今天只能先介紹這些了，希望大家能有所收獲。
#專欄作家#NK冬至，公眾號：首席數(shù)據(jù)科學家，人人都是產品經(jīng)理專欄作家。在金融領域、電商領域有豐富數(shù)據(jù)及產品經(jīng)驗。擅長數(shù)據(jù)分析、數(shù)據(jù)產品等相關內容。
感謝來自互聯(lián)網(wǎng)發(fā)布于人人都是產品經(jīng)理。未經(jīng)許可，禁止感謝。
題圖來自Unsplash，基于CC0協(xié)議。
