什么是正方形？它是一種有四條等長(zhǎng)的直邊和四個(gè)90度角的形狀。
一個(gè)誠(chéng)實(shí)的正方形：它有四條等長(zhǎng)的直邊和四個(gè)90度的角
90度和四條直邊似乎是一起的。不可能畫(huà)一個(gè)全是90度角的三角形。同樣，也不可能畫(huà)出一個(gè)五邊形、六邊形或有更多直角的形狀，而這些形狀都有90度角。
真的是這樣嗎？
我們?cè)趯W(xué)校里通常做幾何的二維平面被稱為歐幾里得平面。的確，在這個(gè)平面上，任何封閉的、邊長(zhǎng)相同的、內(nèi)角都是直角的圖形都必須有四條邊，它必須是一個(gè)正方形。然而，有不同類(lèi)型的表面可以用曲率的概念來(lái)描述。如果你改變了平面的曲率會(huì)怎樣？形狀的邊數(shù)會(huì)不會(huì)改變？
曲率有多大？
你可以用高斯曲率的概念（以數(shù)學(xué)家卡爾-弗里德里希-高斯的名字命名）來(lái)衡量一個(gè)曲面在某一點(diǎn)上的彎曲程度。我們區(qū)分三種類(lèi)型的曲面：每一點(diǎn)的高斯曲率為零，每一點(diǎn)的高斯曲率為正，以及每一點(diǎn)的高斯曲率為負(fù)。
歐幾里得平面在每一點(diǎn)上的恒定曲率為零，正如你可能期望的那樣：平面不是彎曲的，所以它應(yīng)該有零曲率。球體在每一點(diǎn)上都有正的高斯曲率。直觀地說(shuō)，這是因?yàn)樗谒蟹较蛏隙?"向外彎曲"。如果你在球體上的任何一點(diǎn)坐下來(lái)，你會(huì)看到球體在所有方向上向下彎曲，遠(yuǎn)離你的底部。
一個(gè)球體在每一個(gè)點(diǎn)上都有正的曲率
如果你坐在一個(gè)點(diǎn)上，例如圖中的紅色點(diǎn)，然后向下看，你會(huì)看到球體在所有方向上向下彎曲。從技術(shù)上講，圖中的兩條黑線給出了球體在該點(diǎn)的主曲率，在這種情況下都是正的。高斯曲率是主曲率的乘積，在這種情況下也是正的。
如果你把自己坐在一個(gè)馬鞍的形狀上，就像你在一匹馬上一樣，會(huì)發(fā)生非常不同的事情。如果你看下你的腿，你會(huì)看到表面向下彎曲，遠(yuǎn)離你的屁股。但如果你從你的正前方或正后方往下看，你會(huì)看到表面向你的頭部上方彎曲。這種 "相反的彎曲"，從直覺(jué)上來(lái)說(shuō)，就是負(fù)曲率的特征。
一個(gè)馬鞍具有負(fù)曲率
如果你在紅點(diǎn)處坐下來(lái)，順著你的腿看，你會(huì)看到表面向下彎曲。如果你從正前方或正后方看下去，你會(huì)看到表面向上彎曲。從技術(shù)上講，圖中的兩條黑線給出了該點(diǎn)上馬鞍的*主要曲率。在這種情況下，一個(gè)主曲率是正的，另一個(gè)是負(fù)的。高斯曲率是主曲率的乘積，在這種情況下是負(fù)的。
一般來(lái)說(shuō)，高斯曲率在一個(gè)表面的不同點(diǎn)可以有不同的值。事實(shí)上，上面的馬鞍就是這種情況。球體的特殊之處在于，高斯曲率的值在所有的點(diǎn)上都是一樣的：它有恒定的正曲率。另一個(gè)具有恒定高斯曲率的曲面的例子是偽球面，如下圖所示。在這種情況下，曲率是負(fù)的。
一個(gè)偽球面，它具有恒定的負(fù)曲率
實(shí)際上，偽球面在垂直方向上是無(wú)限延伸的。
（注：偽球面是雙曲幾何的一個(gè)局部模型。）
球體上的形狀
那么，在這些表面上，具有直邊和90度角的形狀可以有多少個(gè)面呢？
讓我們從一個(gè)球體開(kāi)始，想象它有一個(gè)赤道和一個(gè)北極，就像地球一樣。從赤道上的一個(gè)點(diǎn)開(kāi)始，沿著一條經(jīng)線一直到北極（這樣的線總是與赤道形成90度角）。現(xiàn)在找到另一條經(jīng)線，與你剛剛走過(guò)的那條經(jīng)線成90度角，然后沿著這條新的經(jīng)線走，直到你再次遇到赤道。現(xiàn)在沿著赤道走，直到你到達(dá)你的起點(diǎn)。
一個(gè)有90度角、邊長(zhǎng)相等的球形三角形
你所走過(guò)的線都是球體上大圓的一部分，也就是說(shuō)，直徑與球體本身相同的圓。每條線都對(duì)應(yīng)著一個(gè)大圓的四分之一，所以它們都有相同的長(zhǎng)度。球體上的大圓是平面上直線的類(lèi)似物。這是因?yàn)椋拖衿矫嫔蟽牲c(diǎn)之間的最短距離是沿著直線，所以球體上兩點(diǎn)之間的最短距離是沿著大圓。
(注：表面上的最短距離的線被稱為測(cè)地線)
我們?cè)谶@里創(chuàng)造的是一個(gè)直角形狀，它的邊都有相同的長(zhǎng)度，并以90度角相交，而且它有三條邊，而不是四條！這也說(shuō)明了，我們?cè)谶@里創(chuàng)造的是一個(gè)直角形狀。這也說(shuō)明，在一個(gè)具有正曲率的形狀上繪制的三角形的角度加起來(lái)超過(guò)180度（在平面上是這樣的）。在我們的例子中，它們加起來(lái)是90+90+90=270度。
在球體上，我們甚至可以畫(huà)一個(gè)兩面的形狀，其邊長(zhǎng)相同，并以90度角相交。一邊是半個(gè)大圓，另一邊是與原大圓成直角的大圓的一半。這樣的形狀被稱為二角形。
兩個(gè)垂直的大圓從球體上切出的四個(gè)楔子中的每一個(gè)都是一個(gè)二角形
偽球體上的形狀
所以，我們剛剛看到，在球體（具有正曲率）上，我們可以畫(huà)出一個(gè)具有90度角、所有邊都相同長(zhǎng)度的形狀，其邊數(shù)少于四邊。而事實(shí)證明，在偽球面（具有負(fù)曲率）上，我們可以畫(huà)出這樣一個(gè)有四條以上邊的形狀。下面是一個(gè)有五條邊的例子。
這個(gè)畫(huà)在偽球上的五邊形有等長(zhǎng)的直邊和90度的角。(我們?cè)谶@里只展示了偽球面的頂部部分，因?yàn)樗阋哉f(shuō)明問(wèn)題。) 圖片取自Numberphile視頻五邊形（https://youtu.be/n7GYYerlQWs），本文就是基于此視頻而寫(xiě)的。
這里的角度看起來(lái)比90度小，但這是由負(fù)曲率造成的錯(cuò)覺(jué)。以類(lèi)似的方式，球體的正曲率使我們上面看到的三角形中的90度角看起來(lái)比90度大。
雖然五邊形的邊在我們看來(lái)是彎曲的，但從它們是測(cè)地線段的意義上來(lái)說(shuō)，它們是直的：假球體上的最短距離線。而且，事實(shí)證明，它們都是相同的長(zhǎng)度。
因此，如果你認(rèn)為90度角和相同長(zhǎng)度的直邊定義了一個(gè)正方形，那么再想想。這完全取決于曲率!
你能畫(huà)出有六條、七條、八條、甚至更多條邊的這種形狀嗎？我們把這個(gè)問(wèn)題留給你自己去發(fā)現(xiàn)。
原作者：Hannah Darken
翻譯：MathVoice
審校：MathVoice
