數學作為一種文化系統能陶冶人的美感，提高理性的審美能力，正是這種能力成為人們探索宇宙奧妙和揭示其規律的重要手段。數學基礎是一個非常古老的問題，自古希臘以來，數學家們就一直在為數學尋找一個堅實可靠的基礎。數學是人類思維的重要表達形式，她以高度的抽象化和嚴密的邏輯推理著稱，標志著人類認識世界的水平。數學是科學的皇后，離開了數學，自然科學就是不結果實的花，信度和效度都將遭遇嚴重質疑。然而一直以來，作為數學中基礎問題的實在論與反實在論之間的爭論不絕于耳，歷久彌新，直接關系到數學是否具有客觀性、確定性和真理性。

傳統認為，數學完全是一個純粹理性的事業。但如果數學只是一個心智的發明物，為什么數學在實踐上會有效？如果她被化歸為純粹的邏輯關系，那么從某種意義上來說，數學不過是建立在同義反復的無足輕重的事情之上。近代英國哲學家、經濟學家和邏輯學家密爾（John Stuart Mill）指出：“所有的科學，包括邏輯和數學在內，都是有關時代的函數——所有科學連同她的理想和成就統統都是如此。很難給數學下一個一勞永逸的定義，因為人們所處的數學發展的歷史階段不同，有著不同的文化背景、知識范式和視角，對于數學的理解也就不盡相同。”

數—數學—數學哲學

什么是數？羅素認為，“在進行數的定義時，首先須將我們研究的第一步辨析明白。許多哲學嘗試作出數的定義，實際上卻去定義為許多事物所形成的復合，這是件完成不相干的事”。譬如，一組3個人是3的實例，3絕不同于張三、李四和王五組成的3個人的組合?！拔覀兛梢岳^續定義一般的數為：由于相似關系而集合在一起的任一類；第二種是彼此相似而集合在一起的任一類?；蛘吒鼮楹唵蔚模核^的數就是某一個類的數。”

數學是研究事物的量及其具體關系的規則；而數學哲學是研究數學發生、發展的一般規律；哲學則是研究自然、社會和思維的普遍規律。數學哲學作為數學與哲學的交叉學科，她處于數學與哲學的中間位置。數學哲學研究數學的對象、性質和方法的本體論、認識論和方法論問題，從總體上把握數學發生、發展的一般規律。所以，“哲學、數學哲學和數學三者之間的關系是普遍、一般和特殊的關系。因此，數學就是數學哲學研究的基礎和根據。從這個意義上來說，沒有數學就沒有數學哲學，或者說，沒有數學的數學哲學是空洞的說教”。

數學哲學作為一門獨立的學科，直到19世紀中葉才真正建立起來。不少數學哲學的著作花費大量篇幅給數下定義，希望回答“什么是數”這個問題。由于數學始終在發展，再加上各種流派、研究方向的不同，各個時期的數學家所給出的答案都不一樣。談及數學哲學，言必及古希臘數學哲學觀。

古希臘數學哲學

古希臘數學哲學觀可以粗略地分為畢達哥拉斯-柏拉圖數學哲學觀及亞里士多德數學哲學觀。在古希臘數學范式的形成過程中，畢達哥拉斯（Pythagoras）學派起著極其重要的作用，因為他們最早提出了數學哲學思想。畢達哥拉斯學派首先把數作為抽象的對象加以研究，畢達哥拉斯本人在尋找萬物的本質時提出了數本原說：數不是某種物質形態，數是永遠感覺不到的。如果有人伸出5個手指頭說：這不是5嗎？拿出6支筆說：這不是6嗎？那么這些數字只是我們抽象出來的符號，是表征5的符號，她并不是5本身。萬事萬物都有數量關系，但是要從萬事萬物的關系中抽象出1、2、3、4、5…這些數字是需要很長時間的。當人們能從眾多的事物中抽象出不同的數的時候，這就是思想的飛躍了。數量是通過抽象思維把握的，各種自然物質都具有數量關系，這個數量關系只能在思維中才能把握。因此，“萬物皆數”實際上是一種數學實在論觀。畢達哥拉斯學派這種“萬物皆數”的觀點對后世的數學哲學思想產生了深遠的影響。

古希臘的數學哲學觀被畢達哥拉斯以一種抽象的語言表達為數學的理念。繼畢達哥拉斯之后，在古希臘數學哲學觀的形成過程中，發揮重要作用的人物是柏拉圖。柏拉圖進一步把數的抽象性加以深化，把數學作為一種完美的、理想的、絕對的、先驗的知識和真理。柏拉圖認為，數學研究的對象是抽象的，但卻是客觀存在的，而且她們不依賴于時間、空間和人的思維而永恒存在。數學家提出的概念不是創造，而是對這種客觀存在的描述。

亞里士多德雖然是柏拉圖的學生，也從柏拉圖那里繼承了許多觀點，但他對現實世界與數學之間關系的探究卻有著不同的看法。亞里士多德認為，真正的知識是從感性的經驗中通過直觀和抽象而獲得的，這種抽象是不能獨立于人的思維而存在的。他認為數并非屬于理念世界，而是來自現實世界，他在對學科進行分類時，認為數學是理論科學。

柏拉圖的大理石雕像

中世紀數學哲學

唯名論哲學思想產生于中世紀，唯名論中比較極端的觀點是認為數只不過是符號，是一種名稱，甚至是一種空氣的波動。這一觀點的主要代表人物是洛色林（Roscelinus）。唯名論者認為客觀存在的事物只有具體個別的事物，即這匹馬、那棵樹、張三、李四等，而抽象出來的共相概念只不過是一個記號或標記而已。

在中世紀，英國實驗科學的先驅羅杰·培根（Roger Bacon）對數學的理解是矛盾的。一方面，他認為對數學真理的理解是天賦的；另一方面，他認為數學對象是由感覺的復合產生的，數學的證明總得有與她相對應的經驗。

羅杰·培根

近代數學哲學

到了近代，伴隨著科學革命的步伐，數學的價值得到重新確認。外國數學史家克萊因（M.Kline）指出，在當時“數學是唯一被大家公認的真理體系。數學知識是確定無疑的，她給人們在沼澤地上提供了一個穩當的立足點；人們又把尋求真理的努力引向了數學”。這促使數學研究獲得了重大發展，也促使人們開始重新進行數的本性的思考。法國哲學家、數學家笛卡兒（Rene Descartes）認為數學是一門理性演繹科學，是研究順序和度量的學科；德國哲學家、數學家萊布尼茨（G. W. Leibniz）認為數學知識是先驗的和必然的知識。

之后，康德（Immanuel Kant）的數學哲學思想認為，人如何才能掌握數學知識呢？從最根本來說，數學知識都是先天綜合判斷。首先數是獨立于感覺經驗的，因此數是先天的；其次數不能由概念分析得來，因此她又是綜合的，要認知數學命題，就必須運用感性的兩種先天直觀形式，即時間和空間。因為數是一個接一個出現的，有先后順序。而空間概念是關于事物形狀的基本經驗。因此，康德認為，數是人為經驗總結創造出來的，人也要靠自己的先天直觀形式才能把握數學知識。

到了19世紀末20世紀初，集合論悖論的出現引發了數學基礎的第三次危機，人們又開始了對數的本性的重新思考。1890～1940年的這50年，可以被看成數學哲學發展的黃金時期。在這一時期，弗雷格、羅素、布勞威爾和希爾伯特等圍繞數學基礎問題進行了系統和深入的研究，并產生了邏輯主義、直覺主義和形式主義等具有廣泛和深遠影響的數學學派，從而為數學哲學的研究開拓了一個嶄新的時代，其影響遠遠地超出了數學范圍。特別是，基礎主義的數學哲學曾對維也納學派的科學哲學研究產生了十分重要的影響，而后者曾在科學哲學的領域長期占據著主導地位。

羅素認為數學是邏輯的延展，因此他把數學定義為我們不知道她說的是什么，也不知道其為真還是為假。直覺主義者認為數學獨立于物質世界，她是純粹心靈直覺的產物?！靶问街髁x者則把數學歸結為某種形式符號，一種抽去具體內容的符號系統，數學的真理性就在于符號系統中的無矛盾性?！边@三大學派都不同程度地影響了維特根斯坦的數學哲學觀。

結語

一般而言，數學哲學研究可分為本體論（ontology）問題和認識論（epistemology）問題。數學的研究對象是什么，一般是指本體論問題。數學對象與科學對象之間的關系或者說我們如何能研究和認識數學，這些是認識論問題。而在弗雷格之后興起的英美分析哲學產生了所謂的語言哲學轉向，把之前的本體論和認識論問題也歸之于語言問題來解釋，認為以前把語言當成一種工具，而現代哲學問題最終都是用語言或概念來表達的，哲學的混亂也是由語言的不明確所造成的。數學哲學研究數學的本體論、認識論與意義問題，同時也包括一些其他的相關問題，如數學證明的客觀性問題、數學知識的真理性問題、數學公理或證明的先天性問題等。

數學哲學主要是指基礎主義的數學哲學。所謂數學的經驗性，就其原始的意義而言，即是對數學與其他自然科學相似性（similarity）的確認。這一認識事實上構成了新方向上所有工作的共同出發點。關于數學經驗性的斷言顯然正是對傳統觀念的直接否定，即數學知識不應被看成無可懷疑的絕對真理，數學的發展也并非數學真理在數量上的簡單積累。事實上，人們曾從各種不同的角度對數學與自然科學的相似性進行了論證。如果說數學與其他自然科學一樣，最終都應被看成人類的一種創造性活動，并構成了整個人類文化的一個有機組成部分，那么，數學的發展無疑就是一個包含有猜想與反駁、錯誤與嘗試的復雜過程，而且數學的內涵與改變最終是由我們的實際利益與其他科學的認識論目標所決定的。

在《維特根斯坦與維也納學派》中，維特根斯坦也討論了“什么是數”。他認為，定義是路標，她們指明了通向證實的途徑。定義解釋了符號在命題中的使用，也解釋了命題的意義。定義是一種轉換規則，她說明怎樣從一個命題轉換為其他命題。說明一個數就是去說明多少，而不是說明等量。我們所具有的是一條關于建構一系列記號的法則，而且正是這個法則，使得我們能從對一個數的符號的說明中得出所有其前面數的符號，使我們能重建整個系列?！皵凳且环N形式，數的表達是一幅圖畫，她出現在命題中。數學的東西在哪里都是相同的，描繪數的方法就是描畫法，數在記號中顯示自身。去定義一個數可能意味著兩種不同的東西。如果認為，去定義5，粗略地說來就是去說明一個關于多個類的類，那么回答肯定是：在這種意義上，5是不可定義的。但是，如果根據一個定義，算術的定義，5=3+2。同時，3=2+1，2=1+1，那么5當然也是可以被定義的。數詞是一種與概念完全不同的記號表示法?！?/p>

德國著名的數學家柯朗（R. Courant）指出，“數學哲學是作為人類智慧的一種結晶，反映了人們的意念與思考”。拉卡托斯（I.Lakatos）認為，“數學哲學是來自經驗的，對數學本性的理解離不開對經驗和實踐的理解”。

本文摘編自《維特根斯坦數學哲學思想研究》，標題和內容有調整。內容和標題有調整?？茖W創造未來，人文溫暖世界。在科技引領發展的時代，與您共同關注科技史、科技哲學、科技前沿與科學傳播，關注人類社會的可持續發展?？茖W人文在線，創造有價值的閱讀！歡迎關注、點贊、留言、轉發、參與贈書活動，聯系郵箱：houjunlin@mail.sciencep.com。

圖書推薦

維特根斯坦的數學哲學思想在學界一直充滿爭議，他的數學哲學思想分為早、中、晚期，但是他的早期思想與晚期思想是相互對立的；此外，他對數學基礎三大學派的批判及對哥德爾不完備性定理的評論，更是褒貶不一。本書系統討論了維特根斯坦的數學哲學思想，在早期，他遵循數學哲學的邏輯原子主義；在中期，他提倡數學哲學的可證實性原則；在后期，他主張數學是基于人們生活形式的一種實踐活動。

本書適合外國哲學及科學哲學專業的師生、研究人員及對哲學感興趣的讀者。