1.寫(xiě)在前面的話
老師給咚咚一個(gè)任務(wù)，要他從班上其他50個(gè)小朋友中挑選出45個(gè)小朋友出來(lái)組成一個(gè)5×9的方陣，機(jī)智的咚咚并沒(méi)有直接真的去1、2、3……一直數(shù)到45，而是直接找了5個(gè)小朋友先不參加這個(gè)活動(dòng)，并安慰他們不要難過(guò)，大夏天在外面排方陣很熱的（這些都是虛構(gòu)瞎編的~），然后就對(duì)老師說(shuō)，剩下的小朋友就是參加活動(dòng)的。老師情不自禁夸獎(jiǎng)他：“咚咚，你可真機(jī)智”。這個(gè)故事雖然有點(diǎn)假，但是故事中的主角咚咚在完成老師交給他的任務(wù)時(shí)，卻用到了一種小學(xué)里常用的數(shù)學(xué)思想——反面考慮。當(dāng)一個(gè)問(wèn)題從正面做比較復(fù)雜棘手時(shí)，不妨停下來(lái)?yè)Q個(gè)角度想一下，或許她的反面會(huì)簡(jiǎn)單很多。
說(shuō)到數(shù)學(xué)思想與方法，除了反面考慮之外，還有很多其她的，比如：整體考慮、極端考慮（以特殊代表普通）、數(shù)形結(jié)合、算兩次、類比化歸思想等。本期筆者給大家簡(jiǎn)單介紹一下我們這些常用的數(shù)學(xué)思想與方法。
2.常用思想與方法
2.1整體考慮
整體考慮指的是我們?cè)谧鲱}的時(shí)候要有大局觀和整體觀，要明白我們真正的目的是什么，而不要陷入一個(gè)思維慣性的陷阱。我們來(lái)講這樣一個(gè)故事：小明的媽媽每天工作很忙，早上很早就要出去工作，所以每天早上都會(huì)在桌子上放10塊錢讓小明去樓下的包子吃。每天早上醒來(lái)，小明都會(huì)看到桌子上有10塊錢，然后拿著這10塊錢買包子吃，一連好多天都是這樣。但今天不同，媽媽幫小明買好了包子放在桌子上然后再出門，這時(shí)候小明醒過(guò)來(lái)，發(fā)現(xiàn)桌子上并沒(méi)有10塊錢，但是有包子。此時(shí)小明應(yīng)該怎么做？當(dāng)然是直接吃包子，難道還要拿著包子退回給樓下的阿姨然后再拿著10塊錢和平時(shí)一樣下樓買包子吃嗎？大家當(dāng)然不會(huì)這樣做，但是做題的時(shí)候有些小朋友就往往會(huì)出現(xiàn)這種情況。比如我們看下面這題：
有些小朋友就會(huì)因?yàn)槠綍r(shí)“求圓的面積先求圓的半徑”這樣一個(gè)思維定勢(shì)而去先求圓的半徑。剛好出題人就抓住了這些小朋友的心理，故意把第一問(wèn)設(shè)置成可以求的，即100=10×10，所以半徑為10，代入可以求出圓的面積。然后他們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，第二問(wèn)就不會(huì)做了，因?yàn)椴恢?00是誰(shuí)的平方。這里就是要到整體法，其實(shí)大家要清楚，我們求圓的面積真正要求的是半徑的平方，而不是半徑（求半徑也是為了求半徑的平方），就和前面的故事一樣：小明每天早上真正需要的是填飽肚子的包子，而不是10塊錢。因此當(dāng)包子擺在面前時(shí)，為什么要去想那10塊錢，當(dāng)我們都有了半徑的平方，又何必在乎半徑是多少。這種題其實(shí)就是告訴我們要有整體全局的思想，明白什么才是真正的目的，而什么只僅僅是種途徑。
2.2極端考慮
極端考慮其實(shí)就是用特殊代表一般，尤其適用于不要求作答過(guò)程的客觀題。有些題目往往其中某種比較極端特殊的情況比較好算，但如果是一般的情況做起來(lái)可能會(huì)有些困難。在這種情況下，假如題目只是一道選擇填空題，那么我們就可以用其中某個(gè)好求的特殊值代進(jìn)去算出答案。比如下面這題，大家就可以用這個(gè)想法去做一下。
2.3反面考慮
人們常說(shuō)：“陰影的背后是陽(yáng)光”，在很多數(shù)學(xué)題里，也會(huì)有這樣的情況發(fā)生。舉個(gè)例子：往往我們?nèi)プ鲆坏烙?jì)數(shù)的題目時(shí)，發(fā)現(xiàn)從正面去分類枚舉她的數(shù)目，情況特別多，很難枚舉對(duì)。這個(gè)時(shí)候，我們就要看一下能不能從她的反面來(lái)考慮，往往正面情況特別復(fù)雜的題目，她的反面情況通常會(huì)比較簡(jiǎn)單，然后可能就順順利利開(kāi)開(kāi)心做出來(lái)了。比如下面這道題，大家可以用這個(gè)想法去做一下。
2.4數(shù)形結(jié)合
我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”。有些數(shù)學(xué)題目，如果轉(zhuǎn)化成幾何圖形，比如變成幾何圖形求面積或者是體積等，也可能會(huì)幫助我們快速解決問(wèn)題。其實(shí)很多的代數(shù)公式也是用數(shù)形結(jié)合的方法證明出來(lái)的。數(shù)形結(jié)合的方法我感覺(jué)比較難想，尤其是其中一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，不是特別好處理。筆者也分享一道數(shù)形結(jié)合的題目給大家去挑戰(zhàn)一下。
2.5算兩次思想
算兩次的本質(zhì)其實(shí)是方程，就是通過(guò)對(duì)同一個(gè)量從兩個(gè)不同的角度進(jìn)行表示，然后建立一個(gè)等式，最后求解出來(lái)。算兩次在幾何題經(jīng)常用到，下面也給一道算兩次的題目給大家去挑戰(zhàn)一下。
2.6類比化歸思想
類比化歸思想指把待解決或未解決的問(wèn)題，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程，歸結(jié)到一類已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問(wèn)題中去，最終獲得問(wèn)題解答的一種手段和方法。關(guān)于類比化歸思想，還有一個(gè)笑話：一天，數(shù)學(xué)家覺(jué)得自己已受夠了數(shù)學(xué)，于是他跑到消防隊(duì)去宣布他想當(dāng)消防員。消防隊(duì)長(zhǎng)說(shuō)：“您看上去不錯(cuò)，可是我得先給您一個(gè)測(cè)試。” 消防隊(duì)長(zhǎng)帶數(shù)學(xué)家到消防隊(duì)后院小巷，巷子里有一個(gè)貨棧，一只消防栓和一卷軟管。消防隊(duì)長(zhǎng)問(wèn)：“假設(shè)貨棧起火，您怎么辦？”數(shù)學(xué)家回答：“我把消防栓接到軟管上，打開(kāi)水龍，把火澆滅。”消防隊(duì)長(zhǎng)說(shuō)：“完全正確！最后一個(gè)問(wèn)題：假設(shè)您走進(jìn)小巷，而貨棧沒(méi)有起火，您怎么辦？”數(shù)學(xué)家疑惑地思索了半天，終于答道：“我就把貨棧點(diǎn)著。”消防隊(duì)長(zhǎng)大叫起來(lái)：“什么？太可怕了！您為什么要把貨棧點(diǎn)著？”數(shù)學(xué)家回答：“這樣我就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)我已經(jīng)解決過(guò)的問(wèn)題了。”故事中數(shù)學(xué)家的行為雖然可笑，但是他用的化歸思想?yún)s是小朋友要慢慢掌握的一種思想——把未知轉(zhuǎn)變變成已知，就是把不會(huì)的和會(huì)的建立聯(lián)系，然后慢慢變成會(huì)的。
3.后記
本期給大家介紹了幾種數(shù)學(xué)思想，大家以后遇到一些比較難的題目也可以往這個(gè)方向去思考，希望能對(duì)大家有所幫助。
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